iPod Touchの場合、電話機能がないため電話接続による認証はできません。

ガラケーは他の方のをご利用ということでしょうか？認証番号が書かれたSMSが届かないこととして迷惑メールとして弾かれていることが考えられます。そのあたりの設定をご確認下さい。

また通信業者を選択する画面でその他を選択するとメールが届いたケースがあるようです。

気分晴れました
また不安になったら相談させてください

auのガラケーは今手元になく、離れた所に住んでいるいる人のを使おうとしています。メールが届いたかを確認しても、なにも届いてないとのことでした。

どのようにすれば、登録できるのか教えて下さい。

詳しい情報を教えていただけるとご相談にのれると思います。

LINEをインストールしていないご友人を招待したいということですね。
以下の手順をお試しください。
※連絡先にお友達の情報を登録している必要があります。

1. アプリ内で「友達追加」タブをタップ
2. 知り合いかも？の一番下にある「友だちを招待」をタップ
3. 連絡先からお友達の名前をタップ
4. メールアドレスをタップして送信

無線ルーターでWI-FI接続しているようでしたら別途通信料がかかることはありません。
ウィルコムにパケットの通信料を請求されることはありませんのでご安心ください。

docomoにはsmsを受け取る時にパケット代かかるのみと
理解しましたがよかったですよね？

→その通りであります。

iPadは定額なのでなにも問題ないですよね？

→問題ありません。

そもそも認証番号は個人を特定するためだけに必要という認識でよいのですか？
だからガラケーにはパケット代かからないという理屈で良いのですか？

→認証はあくまで個人を特定するものだと思われます。ガラケーにパケット代がかからないのはただ単にLINEをインストールしているはiPadの方だからということです。

LINEをインストールしているiPod touchをネットに接続するためにはWi-Fiが必要になります。
携帯のほうには通信料はかかりません。